Leçon 2: Modèles MA, Autocorrélation partielle, Conventions de notation Lisez les notes en ligne de Lesson 2 qui suivent. (Note: il n'y a pas d'assignation de lecture du texte cette semaine.) Terminer la leçon 2 Affectation. Cette semaine, bien regarder une variété de sujets en préparation pour le regard à grande échelle ARIMA modèles de séries chronologiques que bien faire dans les prochaines semaines. Les sujets de cette semaine sont des modèles MA, une autocorrélation partielle et des conventions de notation. Après avoir terminé avec succès cette leçon, vous devriez être en mesure de: Identifier et interpréter un modèle MA (q) Distinguer les termes MA d'un ACF Interpréter un PACF Distinguer les termes AR et les termes MA d'explorer simultanément un ACF et PACF Reconnaître et écrire AR, Et les polynômes ARMA 2.1 Modèles de moyenne mobile (modèles MA) Les modèles de séries chronologiques connus sous le nom de modèles ARIMA peuvent inclure des termes autorégressifs ou des termes de moyenne mobile. Dans la semaine 1, nous avons appris un terme autorégressif dans un modèle de série chronologique pour la variable x t est une valeur décalée de x t. Par exemple, un terme autorégressif de retard 1 est x t-1 (multiplié par un coefficient). Cette leçon définit les termes moyens mobiles. Un terme moyen mobile dans un modèle de séries chronologiques est une erreur passée (multipliée par un coefficient). Soit (wt overet N (0, sigma2w)), ce qui signifie que les w t sont identiquement, indépendamment distribués, chacun avec une distribution normale ayant une moyenne 0 et la même variance. Le modèle de moyenne mobile du 1er ordre, noté MA (1) est (xt mu wt theta1w) Le modèle de moyenne mobile du 2 e ordre, noté MA (2) est (xt mu wt theta1w theta2w) , Désignée par MA (q) est (xt mu wt theta1w theta2w points thetaqw) Note. De nombreux manuels et programmes logiciels définissent le modèle avec des signes négatifs avant les termes. Cela ne modifie pas les propriétés théoriques générales du modèle, bien qu'il renverse les signes algébriques des valeurs des coefficients estimés et des termes (non carrés) dans les formules pour les ACF et les variances. Vous devez vérifier votre logiciel pour vérifier si des signes négatifs ou positifs ont été utilisés pour écrire correctement le modèle estimé. R utilise des signes positifs dans son modèle sous-jacent, comme nous le faisons ici. Propriétés théoriques d'une série temporelle avec un modèle MA (1) Notez que la seule valeur non nulle dans l'ACF théorique est pour le lag 1. Toutes les autres autocorrélations sont 0. Ainsi, un échantillon ACF avec une autocorrélation significative seulement au décalage 1 est un indicateur d'un modèle MA (1) possible. Pour les étudiants intéressés, les preuves de ces propriétés sont une annexe à ce document. Exemple 1 Supposons qu'un modèle MA (1) soit x t 10 w t .7 w t-1. Où (wt dépasse N (0,1)). Ainsi, le coefficient 1 0,7. L'ACF théorique est donné par un tracé de cette ACF. Le graphique qui vient d'être montré est l'ACF théorique pour un MA (1) avec 1 0,7. En pratique, un échantillon ne fournira habituellement qu'un tel motif clair. En utilisant R, nous avons simulé n 100 échantillons en utilisant le modèle x t 10 w t .7 w t-1 où w t iid N (0,1). Pour cette simulation, un schéma chronologique des données de l'échantillon suit. Nous ne pouvons pas dire beaucoup de cette intrigue. L'échantillon ACF pour les données simulées suit. Nous observons un pic au décalage 1 suivi par des valeurs généralement non significatives pour les décalages au-delà de 1. Notez que l'échantillon ACF ne correspond pas au modèle théorique du MA (1) sous-jacent, c'est-à-dire que toutes les autocorrélations Un échantillon différent aurait un ACF d'échantillon légèrement différent indiqué ci-dessous, mais aurait probablement les mêmes caractéristiques générales. Propriétés théoriques d'une série temporelle avec un modèle MA (2) Pour le modèle MA (2), les propriétés théoriques sont les suivantes: Noter que les seules valeurs non nulles dans l'ACF théorique sont pour les lags 1 et 2. Les autocorrélations pour les décalages supérieurs sont 0 . Ainsi, un échantillon ACF avec des autocorrélations significatives aux décalages 1 et 2, mais des autocorrélations non significatives pour des décalages plus élevés indique un modèle MA (2) possible. Iid N (0,1). Les coefficients sont 1 0,5 et 2 0,3. Parce qu'il s'agit d'une MA (2), l'ACF théorique aura des valeurs non nulles uniquement aux lags 1 et 2. Les valeurs des deux autocorrélations non nulles sont: Un tracé de la théorie ACF suit. Comme presque toujours le cas, les données d'échantillon ne se comporteront pas aussi parfaitement que la théorie. Nous avons simulé n 150 échantillons pour le modèle x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Où w t iid N (0,1). Le tracé de la série chronologique des données suit. Comme avec le graphique de la série temporelle pour les données d'échantillon MA (1), vous ne pouvez pas en dire beaucoup. L'échantillon ACF pour les données simulées suit. Le modèle est typique pour les situations où un modèle MA (2) peut être utile. Il y a deux pointes statistiquement significatives aux écarts 1 et 2, suivies des valeurs non significatives pour les autres retards. Notez qu'en raison de l'erreur d'échantillonnage, l'ACF de l'échantillon ne correspondait pas exactement au modèle théorique. ACF pour les modèles General MA (q) Une propriété des modèles MA (q) en général est qu'il existe des autocorrélations non nulles pour les q premiers lags et autocorrélations 0 pour tous les retards gt q. Non-unicité de la connexion entre les valeurs de 1 et (rho1) dans MA (1) Modèle. Dans le modèle MA (1), pour toute valeur de 1. La valeur réciproque 1 1 donne la même valeur pour. Par exemple, utilisez 0,5 pour 1. Puis utilisez 1 (0,5) 2 pour 1. Vous obtiendrez (rho1) 0,4 dans les deux cas. Pour satisfaire une restriction théorique appelée invertibilité. Nous limitons les modèles MA (1) à des valeurs dont la valeur absolue est inférieure à 1. Dans l'exemple donné, 1 0,5 sera une valeur de paramètre admissible, alors que 1 10,5 2 ne le sera pas. Invertibilité des modèles MA Un modèle MA est dit inversible s'il est algébriquement équivalent à un modèle d'ordre infini convergent. En convergeant, nous voulons dire que les coefficients AR décroissent à 0 lorsque nous retournons dans le temps. Invertibilité est une restriction programmée dans le logiciel de séries temporelles utilisé pour estimer les coefficients de modèles avec des termes MA. Ce n'est pas quelque chose que nous vérifions dans l'analyse des données. Des informations supplémentaires sur la restriction d'inversibilité pour les modèles MA (1) sont données en annexe. Théorie avancée. Pour un modèle MA (q) avec un ACF spécifié, il n'existe qu'un seul modèle inversible. La condition nécessaire à l'inversibilité est que les coefficients ont des valeurs telles que l'équation 1- 1 y-. - q y q 0 a des solutions pour y qui tombent en dehors du cercle unitaire. Code R pour les exemples Dans l'exemple 1, nous avons représenté l'ACF théorique du modèle x t 10 w t. 7w t-1. Puis a simulé n 150 valeurs à partir de ce modèle et a représenté graphiquement la série chronologique de l'échantillon et l'échantillon ACF pour les données simulées. Les r commandes utilisées pour tracer l'ACF théorique sont: acfma1ARMAacf (mac (0.7), lag. max10) 10 lags de ACF pour MA (1) avec theta1 0.7 lags0: 10 crée une variable nommée lags qui va de 0 à 10. plot Abline (h0) ajoute un axe horizontal à la trame La première commande détermine l'ACF et la stocke dans un objet (a0) Nommée acfma1 (notre choix de nom). La commande plot (la 3ème commande) trace des retards par rapport aux valeurs ACF pour les lags 1 à 10. Le paramètre ylab étiquette l'axe y et le paramètre principal place un titre sur la trame. Pour voir les valeurs numériques de l'ACF, utilisez simplement la commande acfma1. La simulation et les parcelles ont été effectuées avec les commandes suivantes. (X, typeb, mainSimulated MA (1) data) xcarima. sim (n150, list (mac (0.7))) Simule n 150 valeurs de MA (1) xxc10 ajoute 10 pour faire la moyenne 10. La simulation (X, xlimc (1,10), mainACF pour des données d'échantillon simulées) Dans l'exemple 2, nous avons représenté graphiquement l'ACF théorique du modèle xt 10 wt.5 w t-1 .3 w t-2. Puis a simulé n 150 valeurs à partir de ce modèle et a représenté graphiquement la série chronologique de l'échantillon et l'échantillon ACF pour les données simulées. Les ordres R utilisés étaient: ACFma2ARMAacf (mac (0,5,0,3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 tracé (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF principal pour MA (2) avec theta1 0,5, (X, typeb, principale série MA (2) simulée) acf (x, xlimc (1,10), x2) (1) Pour les étudiants intéressés, voici des preuves des propriétés théoriques du modèle MA (1). Lorsque x 1, l'expression précédente 1 w 2. Pour tout h 2, l'expression précédente 0 (x), x, x, x, x, x, La raison en est que, par définition de l'indépendance du wt. E (w k w j) 0 pour tout k j. En outre, parce que w t ont une moyenne 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2. Pour une série chronologique, appliquer ce résultat pour obtenir l'ACF ci-dessus. Un modèle inversible MA est celui qui peut être écrit comme un modèle AR d'ordre infini qui converge de sorte que les coefficients AR convergent vers 0 alors que nous avançons infiniment dans le temps. Bien démontrer l'inversibilité pour le modèle MA (1). On substitue alors la relation (2) pour w t-1 dans l'équation (1) (3) (zt wt theta1 (z - theta1w) wt theta1z - theta2w) Au temps t-2. L'équation (2) devient Nous substituons alors la relation (4) pour w t-2 dans l'équation (3) (zt wt theta1 z - theta21w wt theta1z - theta21 (z - theta1w) wt theta1z - theta12z theta31w) Si nous devions continuer On notera cependant que si 1 1, les coefficients multipliant les décalages de z augmentent (infiniment) de la taille à mesure que l'on se déplace vers l'arrière temps. Pour éviter cela, nous avons besoin de 1 lt1. C'est la condition pour un modèle inversible MA (1). Infinite Order MA model Dans la semaine 3, voyez bien qu'un modèle AR (1) peut être converti en un modèle d'ordre infini MA: (xt - mu wt phi1w phi21w points phik1 w dots sum phij1w) Cette sommation des termes de bruit blanc passé est connue Comme la représentation causale d'un AR (1). En d'autres termes, x t est un type spécial de MA avec un nombre infini de termes revenant dans le temps. C'est ce qu'on appelle un ordre infini MA ou MA (). Un ordre fini MA est un ordre infini AR et tout ordre fini AR est un ordre infini MA. Rappelons à la semaine 1, nous avons noté qu'une exigence pour un AR stationnaire (1) est que 1 lt1. Calculons le Var (x t) en utilisant la représentation causale. Cette dernière étape utilise un fait de base sur les séries géométriques qui nécessite (phi1lt1) sinon la série diverge. 2.2 Fonction d'autocorrélation partielle (PACF) En général, une corrélation partielle est une corrélation conditionnelle. C'est la corrélation entre deux variables sous l'hypothèse que nous connaissons et prenons en compte les valeurs d'un autre ensemble de variables. Par exemple, considérons un contexte de régression dans lequel y variable de réponse et x 1. X 2. Et x 3 sont des variables prédictives. La corrélation partielle entre y et x 3 est la corrélation entre les variables déterminées en tenant compte de la relation entre y et x 3 et x 1 et x 2. En régression, cette corrélation partielle pourrait être trouvée en corrélant les résidus de deux régressions différentes: (1) Régression dans laquelle on prédit y à partir de x 1 et x 2. (2) régression dans laquelle nous prédisons x 3 de x 1 et x 2. Fondamentalement, nous corréler les parties de y et x 3 qui ne sont pas prédites par x 1 et x 2. Plus formellement, nous pouvons définir la corrélation partielle qui vient d'être décrite comme Notons que c'est aussi la façon dont les paramètres d'un modèle de régression sont interprétés. Pensez à la différence entre interpréter les modèles de régression: (y beta0 beta1x2 texte y beta0beta1xbeta2x2) Dans le premier modèle, 1 peut être interprété comme la dépendance linéaire entre x 2 et y. Dans le second modèle, 2 serait interprété comme la dépendance linéaire entre x 2 et y AVANT la dépendance entre x et y déjà pris en compte. Pour une série temporelle, l'autocorrélation partielle entre x t et x t-h est définie comme la corrélation conditionnelle entre x t et x t-h. Conditionnel à x t-h1. X t-1. L'ensemble des observations qui se situent entre les points temporels t et th. L'autocorrélation partielle de 1 er ordre sera définie pour être égale à l'autocorrélation de 1 er ordre. L'autocorrélation partielle du 2 ème ordre (décalage) est la corrélation entre deux intervalles de temps séparés conditionnels à la connaissance de la valeur entre les deux. (Soit dit en passant, les deux variances du dénominateur seront égales les unes aux autres dans une série stationnaire.) L'autocorrélation partielle d'ordre 3 (retard) est Et, ainsi de suite, pour tout décalage. Typiquement, les manipulations matricielles ayant à faire avec la matrice de covariance d'une distribution multivariée sont utilisées pour déterminer les estimations des autocorrélations partielles. Quelques faits utiles sur les modèles PACF et ACF L'identification d'un modèle AR est souvent mieux faite avec le PACF. Pour un modèle AR, le PACF théorique s'éteint après l'ordre du modèle. La phrase se ferme signifie que, en théorie, les autocorrélations partielles sont égales à 0 au-delà de ce point. Autrement dit, le nombre d'autocorrélations partielles non nulles donne l'ordre du modèle AR. Par ordre du modèle, on entend le décalage le plus extrême de x qui est utilisé comme prédicteur. Exemple . Dans la Leçon 1.2, nous avons identifié un modèle AR (1) pour une série chronologique de nombres annuels de tremblements de terre dans le monde ayant une magnitude sismique supérieure à 7,0. Voici l'exemple de PACF pour cette série. Notons que la première valeur de décalage est statistiquement significative, alors que les autocorrélations partielles pour tous les autres décalages ne sont pas statistiquement significatives. Ceci suggère un modèle AR (1) possible pour ces données. L'identification d'un modèle de MA est souvent mieux faite avec l'ACF plutôt que le PACF. Pour un modèle MA, le PACF théorique ne s'arrête pas, mais s'effile plutôt vers 0 d'une certaine manière. Un modèle plus clair pour un modèle MA est dans l'ACF. L'ACF aura des autocorrélations non nulles uniquement aux décalages impliqués dans le modèle. La leçon 2.1 comprenait l'échantillon ACF suivant pour une série MA (1) simulée. Notons que la première autocorrélation de latence est statistiquement significative alors que toutes les autocorrélations subséquentes ne le sont pas. Ceci suggère un modèle MA (1) possible pour les données. Note théorique. Le modèle utilisé pour la simulation était x t 10 w t 0,7 w t-1. En théorie, le premier lag autocorrélation 1 (1 1 2) .7 (1.7 2) .4698 et les autocorrélations pour tous les autres décalages 0. Le modèle sous-jacent utilisé pour la simulation MA (1) dans la leçon 2.1 était xt 10 wt 0,7 w t -1 . Voici le PACF théorique (autocorrélation partielle) pour ce modèle. Remarque: Le PACF qui vient d'être représenté a été créé dans R avec ces deux commandes: ma1pacf ARMAacf (ma c (.7), lag. max 36, pacfTRUE) tracé (ma1pacf, typeh, main Théorique PACF de MA (1) avec theta 0.7) 2.3 Conventions de notation Les modèles de séries chronologiques (dans le domaine temporel) impliquent des termes retardés et peuvent impliquer des données différenciées pour tenir compte de la tendance. Il y a des notations utiles pour chacun. Utiliser B avant soit une valeur de la série x t soit un terme d'erreur w t signifie pour déplacer cet élément une fois. Par exemple, une puissance de B signifie d'appliquer à plusieurs reprises le retour en arrière afin de reculer un certain nombre de périodes de temps qui est égal à la puissance. Par exemple, (x) représente x t deux unités dans le temps. (Bk xt x) représente x t k unités dans le temps. L'opérateur de rétrogradation B ne fonctionne pas sur des coefficients parce que ce sont des quantités fixes qui ne se déplacent pas dans le temps. Par exemple, B 1 1. Les modèles AR et les modèles AR Polynomial AR peuvent être écrits de façon compacte à l'aide d'un polynôme AR impliquant des coefficients et des opérateurs de backshift. Soit p l'ordre maximal (lag) des termes AR dans le modèle. La forme générale d'un polynôme AR est (Phi (B) 1-phi1B-dots-phip Bp). En utilisant le polynôme AR une façon d'écrire un modèle AR est iid N (0, w 2). Pour un AR (1), le lag 1 maximal est donc le polynôme AR et le modèle peut être écrit ((1-phi1B) xt delta wt). Pour vérifier que cela fonctionne, nous pouvons multiplier le côté gauche pour obtenir (xt - phi1x delta wt). Ensuite, balancer le - 1 x t-1 sur le côté droit et nous obtenons (xt delta phi1x wt). Un modèle AR (2) est (xt delta phi1x phi2x wt). C'est-à-dire que x t est une fonction linéaire des valeurs de x aux deux précédents décalages. Le polynôme AR pour un modèle AR (2) est le modèle AR (2) pourrait être écrit comme ((1-phi1B-phi2B2) xt delta wt), ou comme (Phi (B) xt delta wt) avec une explication supplémentaire qui (Phi (B) 1-phi1B-phi2B2). Un modèle AR (p) est (xt delta phi1x phi2x. Phip x wt), où (phi1, phi2. Phip) sont des constantes et peut être supérieur à 1. Rappelons que (phi1 lt 1) pour un modèle AR (1) .) Ici, xt est une fonction linéaire des valeurs de x aux p lags précédents. Une notation abrégée pour le polynôme AR est (B) et un modèle AR général pourrait être écrit comme (Phi (B) xt delta wt). Bien sûr, vous devriez spécifier l'ordre du modèle quelque part sur le côté. Un modèle MA (1) (xt mu wt theta1 w) pourrait être écrit comme (xt mu (1theta1B) wt). Un facteur tel que (1theta1B) est appelé polynôme MA, et il est noté (Theta (B)). Un modèle MA (2) est défini comme (xt mu wt theta1 w theta2 w) et pourrait être écrit comme (xt mu (1theta1Btheta2B2) wt). Ici, le polynôme MA est (Theta (B) (1theta1Btheta2B2)). En général, le polynôme MA est (Theta (B) (1theta1Bdots thetaqBq)). Où (q) l'ordre maximum (décalage) pour les termes MA dans le modèle. En général, nous pouvons écrire un modèle MA comme (xt - mu Theta (B) wt). Modèles avec AR et MA Termes Un modèle qui implique AR et MA termes pourraient être écrites (Phi (B) (xt-mu) Theta (B) wt) ou peut-être même Note: De nombreux manuels et logiciels définissent le polynôme MA avec Négatifs plutôt que des signes positifs comme ci-dessus. Cela ne change pas les propriétés du modèle, ou avec un échantillon, l'ajustement général du modèle. Elle ne modifie que les signes algébriques des coefficients MA. Vérifiez toujours comment votre logiciel définit le polynôme MA. Par exemple, le polynôme MA (1) 1 1 B ou 1 - 1 B Souvent, la différenciation est utilisée pour tenir compte de la non-stationnarité qui se produit sous forme de tendance et / ou de saisonnalité. Une notation alternative pour une différence est (nabla xt (1-B) xt xt-x). Un indice définit une différence de décalage égale à l'indice. Par exemple, (nabla xt xt - x). Ce type de différence est souvent utilisé avec les données mensuelles qui montrent la saisonnalité. L'idée est que les différences par rapport à l'année précédente peuvent être, en moyenne, à peu près les mêmes pour chaque mois d'une année. Un super-indicateur dit de répéter la différence le nombre spécifié de fois. A titre d'exemple, (nabla2 xt (1-B) 2xt (1-2BB2) xt xt -2x x). En termes de mots, il s'agit d'une première différence des premières différences.2.1 Modèles de moyenne mobile (modèles MA) Les modèles de séries chronologiques connus sous le nom de modèles ARIMA peuvent inclure des termes autorégressifs ou des termes de moyenne mobile. Dans la semaine 1, nous avons appris un terme autorégressif dans un modèle de série chronologique pour la variable x t est une valeur décalée de x t. Par exemple, un terme autorégressif de retard 1 est x t-1 (multiplié par un coefficient). Cette leçon définit les termes moyens mobiles. Un terme moyen mobile dans un modèle de séries chronologiques est une erreur passée (multipliée par un coefficient). Soit (wt overet N (0, sigma2w)), ce qui signifie que les w t sont identiquement, indépendamment distribués, chacun avec une distribution normale ayant une moyenne 0 et la même variance. Le modèle de moyenne mobile du 1er ordre, noté MA (1) est (xt mu wt theta1w) Le modèle de moyenne mobile du 2 e ordre, noté MA (2) est (xt mu wt theta1w theta2w) , Désignée par MA (q) est (xt mu wt theta1w theta2w points thetaqw) Note. De nombreux manuels et programmes logiciels définissent le modèle avec des signes négatifs avant les termes. Cela ne modifie pas les propriétés théoriques générales du modèle, bien qu'il renverse les signes algébriques des valeurs des coefficients estimés et des termes (non carrés) dans les formules pour les ACF et les variances. Vous devez vérifier votre logiciel pour vérifier si des signes négatifs ou positifs ont été utilisés pour écrire correctement le modèle estimé. R utilise des signes positifs dans son modèle sous-jacent, comme nous le faisons ici. Propriétés théoriques d'une série temporelle avec un modèle MA (1) Notez que la seule valeur non nulle dans l'ACF théorique est pour le lag 1. Toutes les autres autocorrélations sont 0. Ainsi, un échantillon ACF avec une autocorrélation significative seulement au décalage 1 est un indicateur d'un modèle MA (1) possible. Pour les étudiants intéressés, les preuves de ces propriétés sont une annexe à ce document. Exemple 1 Supposons qu'un modèle MA (1) soit x t 10 w t .7 w t-1. Où (wt dépasse N (0,1)). Ainsi, le coefficient 1 0,7. L'ACF théorique est donné par un tracé de cette ACF. Le graphique qui vient d'être montré est l'ACF théorique pour un MA (1) avec 1 0,7. En pratique, un échantillon ne fournira habituellement qu'un tel motif clair. En utilisant R, nous avons simulé n 100 échantillons en utilisant le modèle x t 10 w t .7 w t-1 où w t iid N (0,1). Pour cette simulation, un schéma chronologique des données de l'échantillon suit. Nous ne pouvons pas dire beaucoup de cette intrigue. L'échantillon ACF pour les données simulées suit. Nous observons un pic au décalage 1 suivi par des valeurs généralement non significatives pour les décalages au-delà de 1. Notez que l'échantillon ACF ne correspond pas au modèle théorique du MA (1) sous-jacent, c'est-à-dire que toutes les autocorrélations Un échantillon différent aurait un ACF d'échantillon légèrement différent indiqué ci-dessous, mais aurait probablement les mêmes caractéristiques générales. Propriétés théoriques d'une série temporelle avec un modèle MA (2) Pour le modèle MA (2), les propriétés théoriques sont les suivantes: Noter que les seules valeurs non nulles dans l'ACF théorique sont pour les lags 1 et 2. Les autocorrélations pour les décalages supérieurs sont 0 . Ainsi, un échantillon ACF avec des autocorrélations significatives aux décalages 1 et 2, mais des autocorrélations non significatives pour des décalages plus élevés indique un modèle MA (2) possible. Iid N (0,1). Les coefficients sont 1 0,5 et 2 0,3. Parce qu'il s'agit d'une MA (2), l'ACF théorique aura des valeurs non nulles uniquement aux lags 1 et 2. Les valeurs des deux autocorrélations non nulles sont: Un tracé de la théorie ACF suit. Comme presque toujours le cas, les données d'échantillon ne se comporteront pas aussi parfaitement que la théorie. Nous avons simulé n 150 échantillons pour le modèle x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Où w t iid N (0,1). Le tracé de la série chronologique des données suit. Comme avec le graphique de la série temporelle pour les données d'échantillon MA (1), vous ne pouvez pas en dire beaucoup. L'échantillon ACF pour les données simulées suit. Le modèle est typique pour les situations où un modèle MA (2) peut être utile. Il y a deux pointes statistiquement significatives aux écarts 1 et 2, suivies des valeurs non significatives pour les autres retards. Notez qu'en raison de l'erreur d'échantillonnage, l'ACF de l'échantillon ne correspondait pas exactement au modèle théorique. ACF pour les modèles General MA (q) Une propriété des modèles MA (q) en général est qu'il existe des autocorrélations non nulles pour les q premiers lags et autocorrélations 0 pour tous les retards gt q. Non-unicité de la connexion entre les valeurs de 1 et (rho1) dans MA (1) Modèle. Dans le modèle MA (1), pour toute valeur de 1. La valeur réciproque 1 1 donne la même valeur pour. Par exemple, utilisez 0,5 pour 1. Puis utilisez 1 (0,5) 2 pour 1. Vous obtiendrez (rho1) 0,4 dans les deux cas. Pour satisfaire une restriction théorique appelée invertibilité. Nous limitons les modèles MA (1) à des valeurs dont la valeur absolue est inférieure à 1. Dans l'exemple donné, 1 0,5 sera une valeur de paramètre admissible, alors que 1 10,5 2 ne le sera pas. Invertibilité des modèles MA Un modèle MA est dit inversible s'il est algébriquement équivalent à un modèle d'ordre infini convergent. En convergeant, nous voulons dire que les coefficients AR décroissent à 0 lorsque nous retournons dans le temps. Invertibilité est une restriction programmée dans le logiciel de séries temporelles utilisé pour estimer les coefficients de modèles avec des termes MA. Ce n'est pas quelque chose que nous vérifions dans l'analyse des données. Des informations supplémentaires sur la restriction d'inversibilité pour les modèles MA (1) sont données en annexe. Théorie avancée. Pour un modèle MA (q) avec un ACF spécifié, il n'existe qu'un seul modèle inversible. La condition nécessaire à l'inversibilité est que les coefficients ont des valeurs telles que l'équation 1- 1 y-. - q y q 0 a des solutions pour y qui tombent en dehors du cercle unitaire. Code R pour les exemples Dans l'exemple 1, nous avons représenté l'ACF théorique du modèle x t 10 w t. 7w t-1. Puis a simulé n 150 valeurs à partir de ce modèle et a représenté graphiquement la série chronologique de l'échantillon et l'échantillon ACF pour les données simulées. Les r commandes utilisées pour tracer l'ACF théorique sont: acfma1ARMAacf (mac (0.7), lag. max10) 10 lags de ACF pour MA (1) avec theta1 0.7 lags0: 10 crée une variable nommée lags qui va de 0 à 10. plot Abline (h0) ajoute un axe horizontal à la trame La première commande détermine l'ACF et la stocke dans un objet (a0) Nommée acfma1 (notre choix de nom). La commande plot (la 3ème commande) trace des retards par rapport aux valeurs ACF pour les lags 1 à 10. Le paramètre ylab étiquette l'axe y et le paramètre principal place un titre sur la trame. Pour voir les valeurs numériques de l'ACF, utilisez simplement la commande acfma1. La simulation et les parcelles ont été effectuées avec les commandes suivantes. (X, typeb, mainSimulated MA (1) data) xcarima. sim (n150, list (mac (0.7))) Simule n 150 valeurs de MA (1) xxc10 ajoute 10 pour faire la moyenne 10. La simulation (X, xlimc (1,10), mainACF pour des données d'échantillon simulées) Dans l'exemple 2, nous avons représenté graphiquement l'ACF théorique du modèle xt 10 wt.5 w t-1 .3 w t-2. Puis a simulé n 150 valeurs à partir de ce modèle et a représenté graphiquement la série chronologique de l'échantillon et l'échantillon ACF pour les données simulées. Les ordres R utilisés étaient: ACFma2ARMAacf (mac (0,5,0,3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 tracé (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF principal pour MA (2) avec theta1 0,5, (X, typeb, principale série MA (2) simulée) acf (x, xlimc (1,10), x2) (1) Pour les étudiants intéressés, voici des preuves des propriétés théoriques du modèle MA (1). Lorsque x 1, l'expression précédente 1 w 2. Pour tout h 2, l'expression précédente 0 (x), x, x, x, x, x, La raison en est que, par définition de l'indépendance du wt. E (w k w j) 0 pour tout k j. En outre, parce que w t ont une moyenne 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2. Pour une série chronologique, appliquer ce résultat pour obtenir l'ACF ci-dessus. Un modèle inversible MA est celui qui peut être écrit comme un modèle AR d'ordre infini qui converge de sorte que les coefficients AR convergent vers 0 alors que nous avançons infiniment dans le temps. Bien démontrer l'inversibilité pour le modèle MA (1). On substitue alors la relation (2) pour w t-1 dans l'équation (1) (3) (zt wt theta1 (z - theta1w) wt theta1z - theta2w) Au temps t-2. L'équation (2) devient Nous substituons alors la relation (4) pour w t-2 dans l'équation (3) (zt wt theta1 z - theta21w wt theta1z - theta21 (z - theta1w) wt theta1z - theta12z theta31w) Si nous devions continuer On notera cependant que si 1 1, les coefficients multipliant les décalages de z augmentent (infiniment) de la taille à mesure que l'on se déplace vers l'arrière temps. Pour éviter cela, nous avons besoin de 1 lt1. C'est la condition pour un modèle inversible MA (1). Infinite Order MA model Dans la semaine 3, voyez bien qu'un modèle AR (1) peut être converti en un modèle d'ordre infini MA: (xt - mu wt phi1w phi21w points phik1 w dots sum phij1w) Cette sommation des termes de bruit blanc passé est connue Comme la représentation causale d'un AR (1). En d'autres termes, x t est un type spécial de MA avec un nombre infini de termes revenant dans le temps. C'est ce qu'on appelle un ordre infini MA ou MA (). Un ordre fini MA est un ordre infini AR et tout ordre fini AR est un ordre infini MA. Rappelons à la semaine 1, nous avons noté qu'une exigence pour un AR stationnaire (1) est que 1 lt1. Calculons le Var (x t) en utilisant la représentation causale. Cette dernière étape utilise un fait de base sur les séries géométriques qui nécessite (phi1lt1) sinon la série diverge. NavigationIID-1.6 Détails des données Les estimations représentent le nombre moyen de cas confirmés, probables et inconnus (vieillissement) Une définition de cas pour les cas confirmés et probables de coqueluche (y compris les cas identifiés dans les situations d'éclosion) est disponible auprès des CDC. Moyenne des cas confirmés et probables de coqueluche déclarés au Système national de surveillance des maladies à déclaration obligatoire Changements entre HP2010 et HP2020: Cet objectif diffère de l'objectif 14-01g de Healthy People 2010 en ce que la mesure a été révisée d'une année à une 5- La population cible a été révisée des enfants de moins de 7 ans à des enfants de moins d'un an (voir la définition de cas pour les maladies infectieuses dans le cadre de la surveillance de la santé publique). Rapport hebdomadaire sur la morbidité et la mortalité 46 (RR-10), 1997. (Voir la référence pour les définitions de cas actualisées.)
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